محاسبات سریع ذهنی با ۱۳ ترفند کاربردی

ریاضی از علوم پایه‌ای است که در زندگی روزمره نیز کاربرد دارد و در تعداد بسیاری از جنبه‌های زندگی نقش مهمی ایفا می‌کند، از محاسبه صورت‌حساب‌های خرید مواد غذایی گرفته تا تجزیه‌وتحلیل داده‌های پیچیده. بااین‌حال تعداد بسیاری از افراد در محاسبات ذهنی ضعیف‌اند و برای حل هر معادله ساده‌ای از ماشین‌حساب منفعت گیری می‌کنند. خوشبختانه برای آموزش محاسبات سریع ذهنی ترفندهایی وجود دارد که با منفعت گیری از آنها می‌توانید تعداد بسیاری از محاسبات ریاضی را سریع تر و دقیق‌تر انجام دهید. در ادامه، با تعدادی از این ترفندها و نکات آشنا می‌شویم.

۱. محاسبه معکوس درصدها

Xدرصد از Y برابر است با Yدرصد از X. اگر برعکس انجام محاسبات آسان‌تر باشد، می‌توانید درصدها را با هم عوض کنید. برای مثال ۶۸درصد از ۲۵ برابر است با ۲۵درصد از ۶۸ یا به‌عبارتی یک‌چهارم ۶۸ که می‌بشود ۱۷. اگر درصدهایی را که معادل کسرهای اساسی می باشند نگه داری کنید، انجام تعداد بسیاری از محاسبات برایتان آسان‌تر می‌بشود:

• ۱۰درصد = یک‌دهم
• ۱۲٫۵درصد = یک‌هشتم
• …۱۶٫۶۶۶درصد = یک‌ششم
• ۲۰درصد = یک‌پنجم
• ۲۵درصد = یک‌چهارم
• …۳۳٫۳۳۳درصد = یک‌سوم
• ۵۰درصد = یک‌دوم
• …۶۶٫۶۶۶درصد = دوسوم
• ۷۵درصد = سه‌چهارم

۲. پیداکردن درصد اعداد

یافتن درصد اعداد احتمالا مشکل باشد، ولی بعضی اوقات با مقداری دقت راحت‌تر می‌توانیم مقدارش را فهمیدن کنیم. برای مثال برای فهمیدن مقدار ۵درصدِ ۲۳۵ می‌توانید ابتدا ۱۰درصد یا یک‌دهم آن را محاسبه کنید. برای تقسیم ۲۳۵ بر ۱۰ علامت اعشار را یک رقم جابه‌جا کنید. با این کار به عدد ۲۳٫۵ می‌رسید. سپس ۲۳٫۵ را بر ۲ تقسیم کنید (چون ۵درصد نصف ۱۰درصد است). بعد جواب معادله ۱۱٫۷۵ است.

۳. تفریق بدون قرض‌گرفتن رقم های

هنگامی به قرض‌گرفتن از رقم مرتبه بالاتر نیازی نداشته باشید، تفریق ذهنی آسان‌تر می‌بشود. اگر عدد دوم از عدد اول (که باید از آن کسر بشود) بزرگ‌تر باشد، تفریق‌کردن مقداری پیچیده می‌بشود. برای پرهیز از قرض‌گرفتن از اعداد کناری باید طوری از شر این اعداد بزرگ‌تر خلاص شوید.

برای مثال در معادله ۷۳۴-۹۲۵ رقم‌های دهگان مقداری کار را پیچیده می‌کنند. برای ساده‌ترکردن محاسبه ابتدا ۷۲۴-۹۲۵ را محاسبه کنید و سپس عدد به‌دست‌آمده را منهای ۱۰ کنید. یعنی:

۲۰۱ = ۷۲۴ – ۹۲۵

۱۹۱ = ۱۰ – ۲۰۱

۴. تعیین قسمت‌پذیربودن یک عدد بر عدد دیگر

• مضارب ۲: به ۰، ۲، ۴، ۶ یا ۸ ختم خواهد شد.
• مضارب ۳: مجموع رقم های آنها ۳ یا مضربی از ۳ است.
• مضارب ۴: رقم صدگان را نادیده بگیرید و عدد دورقمی باقی‌مانده را بر دو تقسیم کنید. سپس آزمایش مضارب ۲ را انجام دهید. مضارب ۴ به ۰۰ یا عددی دورقمی ختم خواهد شد که بر ۴ قسمت‌پذیر است.
• مضارب ۵: به ۵ یا صفر ختم خواهد شد.
• مضارب ۶: اعدادی زوج‌اند که هنگامی رقم های آنها را با هم جمع می‌کنیم، حاصل جمع بر ۳ قسمت‌پذیر است.
• مضارب ۷: چند روش وجود دارد که همه آنها از بیرون‌آوردن گوشی همراه و انجام محاسبه با ماشین‌حساب گوشی سخت‌ترند، ولی احتمالا این روش از بقیه آسان‌تر باشد. در این روش رقم آخر را ۲ برابر و حاصل را از رقم های باقی‌مانده کم می‌کنید. برای مثال:

۱۳۶۵

۱۲۶=(۵×۲)-۱۳۶

۰=(۶×۲)-۱۲

اگر درنهایت به صفر یا مضربی از ۷ رسیدید، عدد مهم بر ۷ قسمت‌پذیر است.

• مضارب ۸: رقم هزارگان را نادیده بگیرید و عدد سه‌رقمی باقی‌مانده را بر ۲ تقسیم کنید. سپس عدد به‌دست‌آمده را مجدد بر ۲ تقسیم کنید و آزمایش مضارب ۲ را انجام دهید. اگر سه رقم آخر عددی بر ۸ قسمت‌پذیر باشند یا عدد به ۳ صفر ختم بشود، آن عدد از مضارب ۸ است.
• مضارب ۹: مجموع رقم های برابر ۹ یا مضربی از ۹ است.
• مضارب ۱۰: به صفر ختم خواهد شد.

مضارب اعداد بزرگ‌تر از ۱۰

برای سنجش قسمت‌پذیری بر اعداد بزرگ‌تر از ۱۰ ابتدا عدد مورد نظر را به اعداد تک‌رقمی تجزیه کنید. سپس با کنار هم گذاشتن همه عوامل تکراری آزمایش‌های بالا را انجام دهید.

برای مثال می‌توان عدد ۶۰ را به‌صورت ۵×۳×۲×۲ تجزیه کرد. به این علت همه مضارب ۶۰ باید مضارب اعداد ۲×۲، ۳ و ۵ نیز باشند. دقت داشته باشید که گفتیم ۲×۲ یعنی مضرب ۶۰ باید علاوه‌بر ۲ بر ۴ نیز قسمت‌پذیر باشد. برای مثال ۱۵۰ بر ۲ قسمت‌پذیر است، ولی بر ۴ قسمت‌پذیر نیست، به این علت بر ۶۰ نیز قسمت‌پذیر نیست.

۵. ترفندهایی برای ضرب اعداد

برای انجام محاسبات سریع در ضرب ذهنی اعداد تلاش کنید قضیه را ساده‌تر کنید.

۱. دوبرابرکردن اعداد

زمان ضرب اعداد در عددی زوج ابتدا عدد مورد نظر را در نصف آن عدد و سپس در ۲ ضرب کنید.

۲. ضرب در ۵

زمان ضرب ۵ در عددی زوج، آن عدد را تقسیم بر ۲ کنید. سپس جلوی عدد به‌دست‌آمده صفری قرار دهید تا جواب معادله را به دست بیاورید. برای مثال برای ۴×۵ ابتدا ۴ را بر ۲ تقسیم کنید. سپس روبه رو جواب به‌دست‌آمده صفر بگذارید.

۲۰=۴×۵

برای ضرب اعداد فرد در ۵ فرمول مقداری تحول می‌کند. ابتدا عددی را که در ۵ ضرب شده است، منهای ۱ کنید. سپس عدد به‌دست‌آمده را تقسیم بر ۲ کنید و ۵ را به‌گفتن رقم آخر جلوی آن قرار دهید. برای مثال برای ۳×۵ ابتدا ۳ را منهای ۱ و حاصل آن یعنی ۲ را بر ۲ تقسیم می‌کنیم که حاصل آن ۱ می‌بشود. درنهایت نیز ۵ را جلوی ۱ قرار می‌دهیم و به جواب معادله یعنی ۱۵ می‌رسیم.

یقیناً روش ساده‌تری نیز وجود دارد که برای اعداد زوج و فرد کاربرد دارد. در این روش عدد مورد نظر را در ۱۰ ضرب و سپس آن را تقسیم بر ۲ می‌کنیم.

۳. ضرب اعداد در ۴

برای ضرب اعداد در ۴ می‌توانیم آن عدد را ۲ بار ۲ برابر کنیم. برای مثال برای ضرب ۸ در ۴ با دوبرابرکردن ۸ به عدد ۱۶ می‌رسیم. سپس ۱۶ را نیز ۲ برابر می‌کنیم تا جواب معادله را به دست بیاوریم. به این علت: ۳۲=۴×۸.

۴. ضرب در ۹

ابتدا عدد مورد نظر را در ۱۰ ضرب کنید و سپس جواب به‌دست‌آمده را منهای خود عدد کنید. برای مثال برای محاسبه ۹×۶۵ به‌ این صورت عمل می‌کنیم:

۵۸۵=۶۵۰-۶۵=۶۵-(۱۰×۶۵)

۵. ضرب در ۱۰ و ۱۱

برای ضرب‌کردن هر عدد در ۱۰ فقط باید یک صفر به انتهای آن اضافه کنیم. برای مثال ۶۲ ضرب در ۱۰ برابر است با ۶۲۰. برای ضرب اعداد دورقمی در ۱۱ نیز دو رقمِ عدد مورد نظر را با هم جمع کنید و حاصل آن را بین ۲ رقم قرار دهید. برای مثال برای ضرب‌کردن ۳۶ در ۱۱ باید ۳ و ۶ را با هم جمع کنید و حاصل، یعنی عدد ۹، را بین دو رقم ۳ و ۶ قرار دهید. به این علت جواب معادله ۳۹۶ است.

اگر حاصل جمع دو عدد دورقمی است، رقم دوم را در وسط قرار دهید و رقم اول عددی را که می‌خواهید در ۱۱ ضرب کنید، با ۱ جمع کنید. برای مثال معادله ۸۸×۱۱ را در نظر بگیرید:

۸ (۸+۸) ۸

۶۸ (۸+۱)

۹-۶-۸

۹۶۸=۸۸×۱۱

۶. ضرب اعداد بزرگ

زمان ضرب‌کردن اعداد بزرگ اگر یکی از اعداد زوج است، عدد اول را نصف و عدد دوم را ۲ برابر کنید. با این روش به‌شدت می‌توانید ضرب را انجام دهید. برای مثال:

۱۲۰×۲۰

ابتدا ۲۰ را بر ۲ تقسیم و ۱۲۰ را در ۲ ضرب کنید. سپس جواب‌های به‌دست‌آمده را در هم ضرب کنید:

۲۴۰۰=۲۴۰×۱۰

۲۴۰۰=۱۲۰×۲۰

۷. ضرب اعداد در ۲۵

برای ضرب یک عدد در ۲۵ کافی است که آن عدد را در ۱۰۰ ضرب و سپس بر ۴ تقسیم کنید. برای مثال برای ضرب ۳۶ در ۲۵ باید ۳۶ را در ۱۰۰ ضرب کنید. سپس عدد به‌دست‌آمده را تقسیم بر ۴ کنید تا به جواب معادله برسید.

۳۶۰۰=۱۰۰×۳۶

۹۰۰=۴÷۳۶۰۰

۸. ضرب اعدادی که به صفر ختم خواهد شد

اعداد را بدون درنظرگرفتن صفر انتهای آنها در هم ضرب کنید و سپس صفرها را به انتهای جواب به‌دست‌آمده اضافه کنید.

مثال:

۴۰۰×۲۰

۸=۴×۲

۸۰۰۰=۴۰۰×۲۰

۹. ضرب اعداد در ۵۰

عدد مورد نظر را در ۱۰۰ ضرب کنید و سپس جواب به‌دست‌آمده را بر ۲ تقسیم کنید. برای مثال برای ضرب ۳۰ در ۵۰، ابتدا ۳۰ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم و سپس حاصل‌ضرب آن یعنی ۳۰۰۰ را تقسیم بر ۲ می‌کنیم. به این علت حاصل‌ضرب ۳۰ در ۵۰ برابر با ۱۵۰۰ است.

۶. تقسیم اعداد بر ۵

برای تقسیم یک عدد بر ۵ کافی است که آن را در ۲ ضرب کنید و علامت اعشار را یک رقم به‌سمت چپ ببرید. برای مثال برای تقسیم‌کردن ۵۰ بر ۵ باید ۵۰ را در ۲ ضرب کنید و سپس اعشار حاصل‌ضرب آنها یعنی ۱۰۰ را یک رقم به‌سمت چپ ببرید. با این کار به جواب معادله یعنی عدد ۱۰ می‌رسید.

۷. نگه داری‌کردن محاسبات ساده

هرچه محاسبات پایه‌ای بیشتری را نگه داری کنید، زیاد تر می‌توانید مسائل ریاضی بزرگ‌تر را تجزیه کنید. اگر جدول ضرب را فراموش کرده‌اید، مجدد آن را مرور کنید. حس زیاد خوبی دارد که مضربی از ۱۲ را اشکار کنید و بفهمید که می‌توانید عددی بزرگ‌تر را تقسیم کنید.

۸. پیداکردن مربع کامل یک عدد بر پایه مجذور عدد قبل از آن

اگر مربع عددی صحیح را بدانید، به‌راحتی می‌توانید با منفعت گیری از فرمول زیر مربع عدد صحیح بعدی را به دست بیاورید.

x^۲+x+(x+۱)=(x+۱)^۲

برای مثال می‌دانیم که ۱۰ به‌ توان ۲ برابر است با ۱۰۰. به این علت برای به‌دست‌آوردن ۱۱ به‌ توان ۲ از فرمول بالا منفعت گیری می‌کنیم:

۱۲۱=۱۰۰+۱۰+۱۱=۱۱^۲

۹. گردکردن اعداد دورقمی قبل از مربع‌کردن آنها

فکر کنید که باید مجذور ۴۶ را به دست بیاورید. ابتدا با جمع‌کردن ۴۶ با ۴ آن را به نزدیک‌ترین مضرب ۱۰ گرد کنید. سپس همان مقدار اضافه‌شده را از ۴۶ کم کنید تا به عددی تازه برسید. به این علت اعداد ۵۰ و ۴۲ را خواهید داشت. دو عدد به‌دست‌آمده را در هم ضرب کنید و سپس مجذور عددی را که برای گردکردن ۴۶ منفعت گیری کردید به آن اضافه کنید.

۲۱۱۶=۲۱۰۰+۱۶=۴^۲+(۴۲×۵۰)=۴۶^۲

اگر ضرب‌کردن ۵۰ در ۴۲ برایتان سخت است، می‌توانید آن را به ۲۱×۱۰۰ تبدیل کنید.

۱۰. مربع‌کردن اعداد دورقمی که به ۵ ختم خواهد شد

رقم اول را در رقم سپس از خود ضرب کنید و سپس ۲۵ را به انتهای حاصل‌ضرب آنها اضافه کنید. برای مثال برای مربع‌کردن ۷۵ ابتدا ۷ را در ۸ ضرب کنید و سپس ۲۵ را به حاصل‌ضرب آنها یعنی ۵۶ اضافه کنید. با این کار به جواب معادله یعنی ۵۶۲۵ می‌رسید.

۱۱. تبدیل دماها

برای تبدیل تقریبی دمای هوا از سانتی‌گراد به فارنهایت، درجه سانتی‌گراد را در ۲ ضرب و حاصل‌ضرب را با ۳۰ جمع کنید و برای تبدیل دمای هوا از فارنهایت به سانتی‌گراد نیز دمای هوا را منهای ۳۰ و حاصل را بر ۲ تقسیم کنید. (برای تبدیل دقیق‌تر درجه سانتی‌گراد به فارنهایت دمای هوا را در ۱٫۸ ضرب کرده و جواب آن را با ۳۲ جمع کنید.)

۱۲. جمع‌کردن اعداد بزرگ

برای ساده‌ترشدن این کار می‌توانید همه اعداد را به مضربی از ۱۰ تبدیل کنید. برای مثال:

۶۴۴+۲۳۸

گرچه جمع‌کردن این اعداد سخت است، گردکردن آنها کارتان را ساده‌تر می‌کند. به این علت ۶۴۴ را به ۶۵۰ و ۲۳۸ را به ۲۴۰ تبدیل می‌کنیم. اکنون ۶۵۰ و ۲۴۰ را با هم جمع می‌کنیم و به عدد ۸۹۰ می‌رسیم. برای یافتن جواب معادله باید اعدادی را که برای گردکردن منفعت گیری کردیم (۶ و ۲) با هم جمع کنیم و حاصل جمع آنها (۸) را از ۸۹۰ کم کنیم تا به جواب نهایی معادله یعنی ۸۸۲ برسیم. به این علت:

۸۸۲=۶۴۴+۲۳۸

۱۳. کم‌کردن اعداد از ۱۰۰۰

برای این کار همه اعداد به‌جز عدد آخر را از ۹ و عدد آخر را از ۱۰ کم کنید. برای مثال برای کم‌کردن ۳۲۴ از ۱۰۰۰ با کم‌کردن ۳ و ۲ از ۹ به‌ترتیب به اعداد ۶ و ۷ می‌رسیم و با کم‌کردن ۴ از ۱۰ نیز به عدد ۶ می‌رسیم. به این علت:

۶۷۶=۱۰۰۰-۳۲۴

سخن پایانی

با آموزش محاسبات سریع ذهنی و تمرین‌کردن ترفندها و راه حلهای حاضر می‌توانید توانایی‌های ریاضی خود را تحکیم کنید و دیگر از کارکردن با اعداد نترسید. با یادگیری این ترفندها مسائل ریاضی برایتان همانند بازی خواهد شد و از انجام آنها لذت می‌برید.

شما از چه ترفندهایی برای محاسبات سریع ذهنی منفعت گیری می‌کنید؟ آیا راه حلهای بالا به‌قدر کافی مختصر و سریع می باشند یا راه حلهای بهتری را نظر می‌دهید؟

تکنیک‌هایی برای به‌خاطر سپردن اطلاعات و بازیابی آنها در زمان مناسب